L'arithmétique s'est au départ limitée à l'étude des propriétés des entiers naturels, des entiers relatifs et des nombres rationnels (sous forme de fractions), et aux propriétés des opérations sur ces nombres. Les opérations arithmétiques traditionnelles sont l'addition, la division, la multiplication, et la soustraction. Cette discipline fut ensuite élargie par l'inclusion de l'étude d'autres nombres comme les réels (sous forme de développement décimal illimité), ou même de concepts plus avancés, comme l'exponentiation ou la racine carrée. Une arithmétique est une manière de représenter formellement - autrement dit, « coder » - les nombres (sous la forme d'une liste de chiffres, par exemple) ; et (grâce à cette représentation) définir les opérations de base : addition, multiplication, etc
De nombreux nombres entiers ont des propriétés particulières. Ces propriétés font l'objet de la théorie des nombres. Parmi ces nombres particuliers, les nombres premiers sont sans doute les plus importants.
Nombres premiers Modifier
C'est le cas des nombres dits premiers. Ce sont les entiers naturels possédant uniquement deux diviseurs positifs distincts, à savoir 1 et eux-mêmes. Les dix premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29. L'entier 1 n'est pas premier car il n'a pas deux diviseurs positifs distincts, mais un seul, à savoir lui-même. Il existe une infinité de nombres premiers. En complétant une grille de taille 10 × 10 avec les 100 premiers entiers naturels non nuls, et en rayant ceux qui ne sont pas premiers, on obtient les nombres premiers appartenant à {1, ..., 100} par un procédé appelé un crible d'Ératosthène, du nom du savant grec qui l'inventa.
Nombres pairs et impairs Modifier
Les entiers naturels peuvent être divisés en deux catégories : les pairs et les impairs.
Un entier {\displaystyle n}n pair est un multiple de 2 et peut par conséquent s'écrire {\displaystyle n=2\,k}n=2\,k, avec {\displaystyle k\in \mathbb {N} }k\in\N. Un nombre {\displaystyle n}n impair n'est pas multiple de 2 et peut s'écrire {\displaystyle n=2\,k+1}n=2\,k+1, avec {\displaystyle k\in \mathbb {N} }k\in\N.
On montre que tout entier est soit pair soit impair, et ce pour un unique {\displaystyle k}k : on note {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad \exists !k\in \mathbb {N} \quad \left(n=2\,k\lor n=2\,k+1\right)}{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad \exists !k\in \mathbb {N} \quad \left(n=2\,k\lor n=2\,k+1\right)}.
Les six premiers entiers pairs sont 0, 2, 4, 6, 8 et 10. Les six premiers entiers impairs sont 1, 3, 5, 7, 9 et 11
